Il professore Gabriele Grillo del Politecnico di Milano il giorno 2 ottobre 2025 alle ore 15.00 nella sala riunioni del primo livello terrà un seminario dal titolo:

                                           “Completezza stocastica e sue relazioni con proprietà di equazioni ellittiche e paraboliche non lineari.”

Abstract. Una varietà $M$ si dice stocasticamente completa se il semigruppo del calore $T_t$ conserva l’identità, cioè $T_t1=1$ per ogni $t$. Si dice stocasticamente incompleta se ciò non accade per qualche $t$. Si tratta dunque di concetti legati a proprietà di un’equazione di evoluzione lineare. Mostreremo come tale concetto si riveli equivalente anche a proprietà di opportune equazioni non lineari su $M$. In particolare:

1) $M$ è stocasticamente incompleta se e solo se l’equazione $Delta u=f(u)$, con $f$ continua, non decrescente, non costante, con $psi(0)=0$ e $psi(x)>0$ per ogni $x>0$, ammette una sottosoluzione non negativa, non banale, e limitata. Ciò è anche equivalente all’esistenza di infinite soluzioni non negative e limitate alla medesima equazione.

2) $M$ è stocasticamente incompleta se e solo se, per ogni $f$ come sopra, l’equazione parabolica non lineare $u_t=Delta f(u)$, con dato iniziale limitato, ammette infinite soluzioni. Le equazioni considerate includono dunque quella dei mezzi porosi, della diffusione veloce, e includono anche nonlinearità di tipo Stefan.

Trattandosi di risultati di equivalenza, essi determinano anche corrispondenti proprietà valide su varietà stocasticamente complete, e in particolare permettono di mostrare risultati di non esistenza nel caso ellittico, e di unicità nel caso parabolico.

Quando esposto è frutto di collaborazione con K. Ishige, M. Muratori, F. Punzo.